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19세기에 카를 프리드리히 가우스, 보여이 야노시, 니콜라이 로바쳅스키, 베른하르트 리만 등의 연구를 통해서, 유클리드 기하학의 다른 공준으로부터 평행선 공준을 유도하는 것은 불가능하다는 사실이 증명되었다.
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